# 2. 插值与采样总结
## 2.1 插值
**带限信号**：如果存在频率 $f_h$ 使得 $X(f)=0,|f|>f_h/2$ 则称 $X(f)$ 为带限信号.
**低通滤波器的时域和频域表达**
$$
\varphi(t)=\operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)\quad \operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}
$$
$$
\Phi(f)=\frac{1}{f_s} \operatorname{rect}\left(\frac{f}{f_s}\right)
$$
**插值的定义** 求取 $x[n]$ 到 $x(t)$ 的映射，满足：
$$
x(nT)=x[n]
$$
**插值函数的要求**：需要满足 $x(nT)=x[n]$ 并且保证 $x(t)$ 平滑、无限可微。例如信号 $\operatorname{rect}\left(\frac{t}{T/2}\right)$ 不能成为插值函数，因为不符合平滑的条件。
**sinc 函数的特点**：
- 关于 $t=0$ 是对称的，所有零点在 $nT,n\not=0$.
- 平方可积但是不是绝对可积；
- 无限可微的平滑函数。
**sinc 插值的数学形式**
$$
x(t)=\sum_{n=-\infin}^{\infin } x[n] \operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT}{T}\right)
$$
计算 $x(t)$ 的傅里叶变换，由线性性：
$$
\begin{aligned}
X(f)&=\sum_{n=-\infin}^{\infin } x[n] \mathcal F\left\{\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT}{T}\right)\right\}\\
&=\sum_{n=-\infin}^{\infin } x[n] \mathcal F\left\{\varphi(t-nT)\right\}\\
&=\sum_{n=-\infin}^{\infin } x[n] \Phi(f) e^{-j2\pi fnT}\\
&=\frac{1}{f_s}\sum_{n=-\infin}^{\infin} x[n] \operatorname{rect}\left(\frac{f}{f_s}\right) e^{-j2\pi fnT}\\
&=T\operatorname{rect}\left(\frac{f}{f_s}\right)\underbrace{\sum_{n=-\infin}^{\infin} x[n] e^{-j2\pi (f/f_s)n}}_{X(e^{j2\pi f/f_s})}\\
&=\begin{cases}
TX(e^{j2\pi f/f_s}),&\mathrm{for~}|f|\le f_s/2\\
0,&\mathrm{otherwise}
\end{cases}
\end{aligned}
$$
- 采样间隔 $T$ 越大，频率 $f_s$ 越小，信号的幅值越大，带宽 $f_s/2$ 越小；
- 采样间隔 $T$ 越小，频率 $f_s$ 越大，信号的幅值越小，带宽 $f_s/2$ 越大。
**sinc 插值的另外一种解释**：使得 $x[n]$ 的序列值以 $T$ 为间隔，即构造模拟信号：
$$
\hat x_a(t)=\begin{cases}
x[n]&t=nT\\
0&t\not=nT
\end{cases}
$$
并且让 $\hat x_a(t)$ 通过带宽为 $f_s$ 的理想低通滤波器。
证明两种做法是等价的，对 $\hat x_a(t)$ 做傅里叶变换：
$$
\begin{aligned}
\hat X_a(f)&=\int_{-\infin}^{\infin} x_a(t)e^{-j2\pi ft}\mathrm d f\\
&=\sum_{n=-\infin}^{\infin} x[n]e^{-j2\pi f/f_sn}\\
&=X(e^{j2\pi f/f_s})
\end{aligned}
$$
然后，
$$
X(f)=\hat X_a(f)\cdot \Phi(f)=\begin{cases}
TX(e^{j2\pi f/f_s}),&\mathrm{for~}|f|\le f_s/2\\
0,&\mathrm{otherwise}
\end{cases}
$$
## 2.2 采样
**模拟信号的理想采样**
$$
\delta_T(t)=\sum_{m=-\infin}^{\infin} \delta(t-mT)\\
\hat x_a(t)=x_a(t)\delta_T(t)
$$
采样周期：$T$；采样频率：$f_s=1/T$；采样角频率：$\Omega_s=2\pi f_s$.
因为 $\delta_T(t)$ 是周期信号，其频谱是离散的，可以表示为：
$$
\delta_T(t)=\sum_{k=-\infin}^{\infin} a_k e^{jk\Omega_s t}
$$
$$
a_k=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} \delta_T(t)e^{-jk\Omega_s t}\mathrm d t=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} \delta(t)\mathrm d t=\frac{1}{T}\\\Rightarrow \delta_T(t)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infin}^{\infin} a_k e^{jk\Omega_s t}
$$
$$
\Delta_T(j\Omega)=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infin}^{\infin} \delta(\Omega-k\Omega_s)
$$
$$
\hat X_a(j\Omega)=\frac{1}{2\pi} \Delta_T(j\Omega)*X_a(j\Omega)
$$
理想采样信号的频谱是模拟信号频谱的周期延拓，延拓周期是 $\Omega_s$，延拓的缩放比例为 $1/T$.
**奈奎斯特采样定理** 若 $x_a(t)$ 为 带限信号，要想抽样后的信号能够不失真地还原出原信号，则要求
$$
f_s\ge 2f_h
$$
或者等价于 $\Omega_c \le 2 \Omega_s$.
当带限信号出现冲激线状频谱（如正弦信号），当 $f_s=2f_h$ 时，会产生混叠（画图可以发现出现相互抵消的情况），若最高频率对应正弦信号，则要求 $f_s>2f_h$.
若 $x_a(t)$ 不是带限信号，也不能对 $x_a(t)$ 进行直接采样，否则频谱中超出带限的部分会混叠到 $[-f_s/2,f_s/2]$ 的区间，需要首先通过截止频率为 $f_s/2$ 的防混叠滤波器，然后进行频率为 $f_s$ 的采样。
**能否可以区分采样频率和采样信号**
- 两个不同频率的模拟正弦信号，使用相同频率采样，可能得到相同序列；
- 同一个模拟正弦信号，使用不同频率采样，也有可能得到相同序列。
**带通采样**
信号单边带宽 $B=2f_0$，对信号上下端分别延伸，产生保护带，满足
$$
(k-1)B_0\le f_l,f_h\le kB_0
$$
使用 $f_s=2B_0$ 采样。
## 2.3 插值采样综合题目
采样等价于两步：
- 第一步连续时间信号 $x_a(t)$ 点乘抽样序列 $\delta_T(t)$，在频域上等价为进行周期为 $\Omega_s$ 的延拓，并且幅值变为原来 $1/T_s$.
- 第二步取 $x[n]=\hat x_a(nT)=x_a(nT)$，等价为取 $-\Omega_s/2\sim \Omega_s/2$ 的部分，频谱 $\Omega_s/2$ 点映射到 $\pi$.
**从频谱图上分析，可以简单记忆为 $\boldsymbol{[-\pi/T,\pi/T]}$ 的部分扩大 $T$ 倍到达 $\boldsymbol{[-\pi,\pi]}$，并且幅值相应缩小 $\boldsymbol T$.**
插值等价为两步：
- 第一步构造序列 $\displaystyle \hat x_a(t)=\begin{cases}
x[n]&t=nT\\
0&t\not=nT
\end{cases}$，在频域上等价为频谱 $\pi$ 点映射到 $\Omega_s/2$，并且进行周期为 $\Omega_{s}$ 的延拓.
- 第二部使得序列通过截止频率为 $\Omega_s/2$ 的低通滤波器，其增益为 $1/f_s=T_s$.
**从频谱图上分析，可以简单记忆为 $\boldsymbol{[-\pi,\pi]}$ 的部分缩小 $T$ 倍到达 $\boldsymbol{[-\pi/T,\pi/T]}$，并且幅值相应扩大 $\boldsymbol T$.**
**例题**：
**例题**：
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序列 $x[n]=\cos \left(\frac{\pi}{5}n \right),-\infin